Sistemas de coordenadas cartesiano

Propriedades

Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de orígem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da orígem, à qual chamamos amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na orígem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a orígem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.2

A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos.

Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, , que representam as três direções do sistema.

Localização de pontos

Coordenadas cartesianas

Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo , o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo , enquanto que o último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de eixo , cada segmento de eixo partindo da orígem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem.

A tripla ordenada no formato , corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:

Se desejarmos encontrar o ponto  localizamos o valor 3 no eixo , depois o zero no eixo , estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo , depois localizamos o valor 5 no eixo  e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo  na direção da subreta está o ponto.

Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto  localizamos o valor -5 no eixo , depois o -5 no eixo , estes dois valores determinam um plano sobre os eixos  e , depois localizamos o valor 7 no eixo  e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo , na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.

Planos primários

Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.2

Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:

•  ou,
•  ou,
• .

Onde  é uma constante.

Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.

Distância entre pontos

Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos definida como:

Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o que nos revela a seguinte fórmula:

Comprovação:

No plano  a distância entre os dois pontos do subplano  é , para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância ., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de  e , com o valor em . Esta distância  corresponde a , logo:

O que define o seu valor após a substituição de , resultando na fórmula definida anteriormente.2

A esfera

Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são  e que podemos especificar um ponto de coordenadas , a distância entre os pontos é:

Definimos , que é o raio da esfera, conseqüentemente:

Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas;

Postado pela equipe:

Anderson Lira 

João Victor

Nicolas Coelho 

Pabllo Rhuan